(І)1) Частинні похідні і повний диференціал.

Нехай ф-ція z=f(x;y) має частинні похідні в усіх т. множ. D. Візьмемо т. (х;у) є D. В цій точці існують частинні похідні ¶z/¶x і ¶z/¶y,  які залеж від х та у, тобто є ф-ціями 2 змін. Значить можна поставити питання про знаходж її частинних похідних. Якщо вони існують, то назив похідними ІІ порядку.

Добуток F’(x)*Dx назив. диференціалом ф-ції у=f(x), зображують символом dy,  тобто dy=f’(x)* Dx.

Знайдемо диференціал ф-ції у=х; для цього випадку y’=x’=1, отже dy=dx=Dx. Таким чином диференціал не залеж змінної збігається з її приростом Dx. Þ dy=f’(x)dx

 

(І)2) Похідна за напрямом.

Відомо, що механіч. зміст похідної ф-ції 1 незалеж змінної – змінювання ф-ції в даний момент х. Аналогічно можна тлумачити мех. зміст частин похідних І-го порядку ф-ції z=f(x;y)

¶z/¶x – швидкість зміни ф-ції в напрямі Ох.

¶z/¶y - швидкість зміни ф-ції в напрямі Оу.

Частин похідну ф-ції z не залеж змінної за напрямом ех, еу знаходять:

де a і b - кути, які утвор. Вектор е з осями координат.

 

(І)3) Градієнт.

Напрям найбільшої швидкості зміни ф-ції z=f(x;y) співпадає з напрямом вектора – градієнтом.

За формулою довж вектора знаходять величину цієї найбільшої швидкості:

(І)4) Екстремуми.

Ф-ція має екстремуми в т. М₀ (х₀;у₀), якщо існує такий окіл цієї т., що для всіх точок М(х;у) з цього околу виконується нерівність f(x₀;y₀) > f(x;y). Точки, в яких частинні похідні І порядку =0 або не існують називаються критичними.

 

                                                                                                        (І)5) Необхідна  і достатня умови існування екстремуму.

В т. екстремуму ф-ції її частинна похідна = 0 або не існує Þ в т. екстремуму диференційованої ф-ції виконується нерівність:

df/dx=0             і              df/dy=0.

 

Необхідна:

 

Достатня:

AC – B²<0 – НЕ ІСНУЄ

АС – В²=0 – ?

 

A=¶²z/¶x² (M₀)

C=¶²z/¶y² (M₀)

B=¶²z/¶x¶y (M₀)

 

(І)6) Умовний екстремум.

Рівняння j(х;у) назив рівнянням зв’язку, т. (х₀;у₀) є Е назив т. Умовного строгого максимуму ф-ції u=f(x;y). Відносно рівн зв’язку, якщо існує такий окіл т. (х₀;у₀), для всіх точок якого (х;у) ¹ (х₀;у₀), що задовольняють рівняння зв’язку, вірна нерівність: f(x;y) £ f(x₀;y₀).

z = f(x;y)          j(x;y) = 0

F(x,y,l) = f(x;y) + l(x;y)

                                                                                        (І)7) Найбільше і найменше значення    ф-ції на замкненій області.

Ф-ція, неперервна на замкненій обмеженій множині D, досягає в ній найбільшого і найменшого значення. Ці значення вона може приймати як у внутрішніх точках множини D? Так і на її межі, тобто необхідне спеціальне дослідження межових точок множини D.(І)8) Метод найменших квадратів.

Нехай х₁, x₂, … x_n – послідовність значень незалеж змінної, а y₁, y₂, … y_n – послідовн. значень залежної змінної. Необхідно підібрати пряму, яка найліпшим чином відображає залежність між х і у Þ відхилення фактичних значень ф-ції від підібраної прямої має бути мінімальним. Нехай y=ax+b є рівн. цієї прямої Þ y₁=ax₁+b₁ … y_n=ax_n=b_n

Відхилення складає:

y₁ – y_i = y_i – (ax_i + b) = y_i – ax_i – b.

Це відхилення має бути додат або від’ємним, тому пряма підбирається так, щоб сума квадратів відхилень була найменшою. Необхідна умова існування min полягає в тому, що ¶f/¶a = 0        ¶f/¶b = 0.

Маємо: (y₁-b-ax₁)²=y₁²+b²+a²x₁²-2abx_i-2bx_iy_i,    отже:

Обчислимо:

 

Таким чином ми отримали 2 рівн з двома змінними a і b. Розв’язання цих двох рівн дає значення a і b, які визначають пряму, яка найкраще відображає хід змінної ф-ції.

 

(ІІ)9) Поняття первісної ф-ції та невизначеного інтеграла.

Первісною ф-цією для даної ф-ції f(x) називають ф-цію F(x) таку, що f(x)=F’(x) або f(x)dx=dF(x).

 

Теорема про множину первісних:

Будь-які 2 первісні однієї і тієї ж ф-ції відрізняються тільки на постійний доданок. F₂(x)=F₁(x+c).

 

Всю множину первісних F9x)+с для ф-ції f(x) називають невизначеним інтегралом і позначають:

òf(x)dx = F(x)+c. Геометрично не визначений ò представляє множину інтеграл прямих.

 

 

 

 

 

 

 

(ІІ)10) Основні властивості невизначених інтегралів.

1.  Похідна не визначеного ò = підінтегральній ф-ції, а диференціал від невизначеного ò = підінтегральному виразу.

2.  Не визнач ò від диференц. ф-ції = тій самій ф-ції + постійний доданок. òdF(x)=òf(x)dx=F(x)+c.

3.  Постійний множник можна виносити за знак невизначеного ò.

4.  Не визнач ò від алгебраїчної суми декількох ф-цій = тій самій сумі від заданих ф-цій.

 

(ІІ)11) Методи інтегрування.

1.                  Метод безпосереднього інтегрування: а)_введення під знак ò постійного множника і постійного доданку; б)_введення частини підінтегральної ф-ції.

2.                  Метод підстановки (заміни змінної): òf(x)dx=òf(j(t))j’(t)dt

3.                  Метод інтегрування частинами: òudv=u*v-òv*du.

 

Інтегрування виразів з квадратним тричленом.

(ІІ)12) Раціональні дроби. Інтегрування раціональних дробів. Неінтегровні ф-ції.

 

 

 

 

 

Інтегрування рац дробів.

Теорема: правильний рац дріб R(x)/Q розклад на суму простіших рац дробів.

1) Корені знаменника дійсні та різні:

Q(x)=(x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n)

2) Корені дійсні, деякі кратні.

3) Корені дійсні, серед них є кратні, знаменник містить квадратний тричлен.

 

Неінтегровні ф-ції.

Теорема Коші: неперервна   ф-ція має первісну. Для кожної неперервної ф-ції існує визначений ò f(x)=F(x)+c, але т. Коші стверджує, що для неперерв. ф-ції можна знайти первісну за допомогою скінченого числа операцій.

 

(ІІ)13) Поняття визначеного інтегралу.

Означення 1: сума вигляду:

називається інтегральною сумою для ф-ції f(x) на відрізку [a;b].

Означення 2: Якщо існує скінчена границя інтегральної суми (див. вище), при        max Dx_i®0 і не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на часткові відрізки і вибору проміжних точок x_і, то цю границю називають визначеним інтегралом від  a до b від ф-ції f(x) і позначають:

або

(ІІ)14) Властивості визначеного інтегралу. Теорема про середнє. Формула Ньютона-Лейбніца.

5) Якщо f₁(x) та f₂(x) – інтегровані ф-ції на [a;b], то:

 

6)Якщо ф-ція f(x) інтегрована на кожному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність:

7) Якщо ф-ція f(x) інтегровна на відрізку [a;b] і f(x)³0, xє[a;b], то:

 

8) Якщо f(x) та g(x) інтегровні ф-ції на [a;b] та f(x)³g(x) для xє[a;b], то:

 

9) Якщо ф-ція f(x) інтегровна на відрізку [a;b] та m та M – відповідно найменше і найбільше значення ф-ції на відрізку [a;b], тобто m£f(x)£M, то:

 

Теорема про середнє.

Якщо ф-ція f(x) інтегровна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку існує така т. С, що справедлива рівність:

 

Формула Ньютона-Лейбніца

 

(ІІ)15) Метод підстановки у визначеному інтегралі. Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Теорема: Нехай заданий ò:

f(x) – неперервна ф-ція на відрізку [a;b] та x=j(t) – неперервна ф-ція на відрізку [a;b]. Якщо при цьому:

1) При зміні t від a до b x змінюється від а до b, тобто j(a)=a і j(b)=b

2) Складна ф-ція f(j(t)) – визначена і неперервна на відрізку [a;b], то справедлива формула:

 

Метод інтегрування частинами у визначеному інтнгралі.

 

 

 

 

(ІІ)16) Невласні інтеграли. Інтеграл від розривних ф-цій.

1)[a;¥)

2) (-¥;b]

3) (-¥;+¥)

Інтеграл від розривних ф-цій.

 

(ІІ)17) Подвійний інтеграл.

Означення: Якщо границі інтегр. суми

існує і не залежить від способу розбиття області D на часткові області, від вибору  т. М, то цю границю називають подвійним інтегралом від ф-ції f(x;y) по області D:

або:

 

Отже, подвійний інтеграл є прямим узагальненням поняття звичайного визначеного інтеграла на випадок двох змінних. Обчислення подвійного інтегралу зводиться до обчислення повторного інтегралу:

(ІІІ)18) Диференційні рівняння І порядку з відокремленими та відокремлюваними змінними.

Означення: Диф. Рівнянням називається рівняння, яке містить шукану похідну ф-ції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференційного рівняння.

 

 

Означення: Д.Р. вигляду M(x)dx+N(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремленими змінними. Загальний розв’язок має вигляд:

òM(x)dx+òN(y)dy=C і розв. Задачі Коші з початковими умовами х=х₀, у=у₀ має вигляд:

 

Означення: Д.Р. виду N₁(y)M₁(x)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремлюваними змінними, тобто рівняння, що зводяться до рівнянь з відокремленими змінними.

 

(ІІІ)19) Однорідні і лінійні диференційні рівняння І порядку.

Означення: Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді:

Воно за допомогою заміни змінної y/x=u Þy=ux зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними.

та знаходження розв’язку зводиться до квадратур:

 

Лінійні Д.Р. І порядку.

Означення: Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Якщо Q(x)¹0, то Д.Р. є однорідним, якщо Q(x)º0, то неоднорідним.

 

Рішення лінійного Д.Р. І порядку:

y'+P(x)y=Q(x)

y=uv

y’=u’v+v’u

u’v+v’u+P(x)uv=Q(x)

u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x)

v’+P(x)v=0

u’v=Q(x)

 

(ІІІ)20) Лінійні Д.Р. ІІ порядку з сталими коефіцієнтами.

В загальному випадку Д.Р. ІІ порядку має вигляд F(x,y,y’,y’’)=0. Загальний розв’язок рівняння містить 2 довільні сталі y=j(x,C₁,C₂) і за рахунок вибору C₁ і С₂ можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку y=y(x), що задовольняє початковій умові y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀’.

 

Однорідні.

Означення: Рівняння вигляду y’’+a₁y’+a₂y=0 називаються однорідними лінійними Д.Р.

Розв’язок:

y’’+a₁y’+a₂y=0

Складаємо характеристичне рівняння:

K²+a₁K+a₂=0

А) D>0

 

Б) D=0, K1,2= –b/2

 

 

В) D<0, K1,2 – комплексні числа. K1,2=X±bI

 

Зі спеціальною правою частиною.

 

А) f(x)=Pn(x);

 

Б)

 

В)

                                               (IV)21) Числові ряди.

Означення: числовим рядом є вираз, який має вигляд суми нескінченої послідовності доданків: U₁+U₂+U₃+…+U_n+…(1), де U₁ – перший член ряду, U₂ – другий, а U_n – n-член, або загальний член ряду.

Утворимо так звані часткові суми ряду:

S₁=U₁

S₂=U₁+U₂

…………………………

S_n=U₁+U₂+U₃+…+U_n+...

…………………………

Означення: Ряд (1) називають збіжним, якщо:

тобто сума існує. Ряд (1) коротко можна записати:

(1’)

 

Якщо ряд (1) збіжний, то пишуть:

 

Означення: якщо:

то ряд (1) називають розбіжним рядом, такий ряд суми не має.

Різницю між сумою S ряду і n-початковою сумою називають залишком ряду і позначають:

Rn=S-Sn. Якщо ряд збіжний, то:

(ІV)22) Необхідна ознака збіжності.

Теорема: Якщо ряд

збіжний, то:

Доведення: Оскільки ряд збіжний, то:

поряд з цією рівністю для збіжного ряду можна записати:

Ця ознака є лише необхідною умовою збіжності. Якщо вона не виконується, то ряд розбіжний, якщо виконується, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

(IV)23)Достатня ознака збіжності для знакододатних рядів.

(Ознака порівняння рядів; ознака Даламбера; радикальна ознака Коші; інтегральна ознака Коші)

Означення: знакододатний ряд – ряд вигляду U₁+U₂+…+U_n+…, всі члени якого є додатними.

1) Ознака порівняння рядів.

Складаємо геометричний прогресію або гармонійний ряд і порівнюємо. Якщо порівняємо з розбіжним рядом, всі члени якого менше відповідних членів шуканого ряду, то шуканий ряд – теж розбіжний, якщо більшіші, то шуканий ряд – збіжний. Якщо порівнюємо із збіжним рядом, всі члени якого більше відповідних членів шуканого ряду, то шуканий ряд – теж збіжний, якщо менші, то шуканий ряд є розбіжним.

Гармонійний ряд – ряд вигляду:

Приклад:

Порівнюємо з гармонійним рядом, який є розбіжний.

маємо:

 

ÞРяд розбіжний.

2) Ознака Даламбера:

Якщо для знакододатного ряду

існує

то, якщо:

а)D>1, ряд – розбіжний

б)D<1, ряд – збіжний

в)D=1, –???

 

3) Радикальна ознака Коші.

а)k<1, ряд – збіжний

б)k>1, ряд – розбіжний

в)k=1, – ???

 

4) Інтегральна ознака Коші.

Беремо ò від Un-члена ряду. Якщо невласний інтеграл збіжний, то ряд – збіжний, якщо ж розбіжний, то ряд – розбіжний.

(IV)24) Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца.

Означення: Знакопочерговий ряд – ряд вигляду:

Для дослідження знакопочергового ряду на абсолютну і умовну збіжність складається ряд з абсолютних величин.

Означення: Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення: Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

 

Ознака Лейбніца.

Теорема: Якщо члени знакопочергового ряду спадають по абсолютній величині і границя абсолютної величини загального члена ряду = 0, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна записати так:

 

Наслідок1:

Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий же, як і знак першого члену ряду.

Наслідок2:

Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не перевищує перший член ряду, тобто |S|<|U₁|.

Наслідок3:

Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів.

Наслідок4:

Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца:

то ряд є розбіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності.

(IV)25) Функціональні ряди. Область збіжності ряду. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду.

Означення: Ряд вигляду U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+…, де членами рядуU_n(x) є ф-ції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х₀ функціональний ряд перетворюється на на числовий ряд.

Означення: Всі значення аргументу х, при яких функціональний ряд збігається, називаються областю збіжності функціонального ряду.

 

Степеневі ряди:

Означення: Функціональний ряд вигляду a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+… називається степеневим рядом, його загальний член U_n(x)=a_nxⁿ, а числа а₀,а₁,а_2,...,а_n,... – називають коефіцієнтами степеневого ряду. Степеневий ряд можна записати як:

Степеневий ряд може мати вигляд: a₀+a₁₍x-с)+a₂₍x-с)²+…+a_n(x-с)ⁿ+… Такий ряд за допомогою заміни х-с=у зводиться до звичайного степеневого ряду.

 

Теорема Абеля.

Якщо степеневий ряд:

1) якщо при х=х₀, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність |x|<|x₀|;

2) якщо ряд розбігається при х=х₁, то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівніст |x|>|x₁|.

 

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду.

Як наслідок із теореми Абеля для Степ. Р. існує інтервал збіжності з центром в точці х₀.

Означення: Інтервалом збіжності Степ. Ряду називається такий інтервал, у всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок |x|>R ряд є розбіжним, при цьому число R>0 називається радіусом збіжності ряду.

Зауваження:

На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках x=-R, x=R ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує спеціального дослілження в кожному випадку.

Формули

 

I.                  

II.                a)

b)

c)

III. a)

b) непарная степень

    непарная степень

c) парная степень

d)

e)

IV. a)

b)

c)

НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

I. З нескінченними межами інтегрування

a)

b)

c)

II. Інтеграли від розривної ф-ції

Означення матрець, типи матрець.

Означення: Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,C і т.д.

Типи матрець:

1.      Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю називається одиничною матрецею.

2.      Якщо всі елементи матриці, що знаходяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця назівається трикутною.

3.      Якщо візначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою або невиродженою.

4.      Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особліва або вироджена.

Дії над матрицями.

Сумою матрець одного порядку  і  називається матриця C=A+B;   будь-який елемент, який дорівнює сумі відповідних елементів матриць A і B: .

 Добуток матриці  на деяке число a називається така матриця С , кожен елемент якої  одержується множенням відповідних елементів матриці A на a,

Суми матрець і добутку матрець виконуються рівності:

1.      A+B=B+A; 2. aA=Aa 3. a(A+B)=aA+aB 4. (a+b)A=aA+bA 5. a(bA)=(ab)A

 

Визначники першого, другого та третього порядку.

 

Визначником другого порядку називається вираз вигляду:

Визначником третього порядку називається вираз вигляду:

Властивоті визначника.

Властивість 1: Визначник не змінюється при транспортуванні.

Властивість 2: Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3: Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то йго знак змінюється на протилежний.

Властивість 4: Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5: Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то і визначник помножиться на С.

Властивість 6: Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7: Якщо всі елементи будь якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то визначник бкде дорівнювати сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок в першому визначнику і другий доданок в другому визначнику.

Властивість 8: Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

 

Мінори та алгебраїчні доповнення. Визначник n-ого порядку.

Мінором k-того порядку k є [1; n-1] називається визначник утворений з елементів, які стоять на перетені будь-яких k рядків і k товпчиків визначника.

Алгебраїчним доповненням до мінора k-того порядку є доповнювальний мінор (n-k)-того порядку,  взятий із знаком , де  

Якщо   - сума номерів і стовпчиків -  парна, то знак “+”, якщо не парна, то знак “-“.

Означення: Визначником n–ого порядку називається число, яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка, або стовпчика на відповідні їм  алгебраїчні доповнення.

Правило Крамера.

Якщо головний визначник,  складений з коефіцієнтів при невідомих, системи n-лінійних рівнянь з n-невідомими відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який знаходиться за формулами:

, , ...,.

де  -головний визначник, який складається з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи.

-визначник, який одержується шляхом заміни j-го стовпчика в головному визначник на стовпчик вільних членів.

 

Оберненна матриця.

Матриця  називається оберненною матрицею для квадратної, невиродженної А, якщо виконується співвідношення: .

Оберенні матриці існують для квадратних не особливих матриць.

 

Розв’язування систем рівнянь за допомогою оберненної матриці.

Знаходять обернену матрицю таким чином:

1.

2. Алгебрарічні доповнення , до всіх елементів матриці А.

3. З алгебрарічнихдоповнень сскладають матрицю в яку записують алгебраїчні доповнення не в звичайному порядку, а в транспоновану -

        

 

    4.

 

         N-вимірний векторний простір.

Сукупність впорядкованих систем з n-дійсних чисел, для яких означені дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний векторний простір.

Елементами означенного таким чином простору будуть впорядковані системи чисел, які називаємо n-вимірними вектороми.

 

 Лінійна залежність та незалежність векторів. Ранг сукупності векторів.

Система векторів  називається лінійною залежною, якщо існують такі числа

 хоча б одне з яких відмінне від нуля, що має місце рівність:

 (1)

Якщо рівність (1) можлива лише у випадку, коли всі  то система векторів  називається лінійно незалежною.

 

Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійну незалежну підсистему даної системи векторів, називаюється рангом цієї системи.

 

Базис. Перехід від одного  базису до іншого.

Базисом векторного простору  називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору.

Матрицю , стовпчики якої є координати нового базису  в старому базисі , будемо називати матрецею переходу від базису e до базису .

 

 Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі.

Рангом матриці A розмірність mXn називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора утворенного з елементів матриці. Позначають ранг – r чи r(A)

Теорема: система лінійних алгебрарічних рівнянь сумісна тоді, і тількі тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширенної матриці.

 

 Однородні системи рівнянь.

Система однородних лнійних рівнянь має нетральні розв’язки тоді, і тільки тоді, коли

 

Метод Гаусса.

 

 Метод Жорданна-Гаусса.

Розв’язання рівнянь методом Г-Ж здійснюється за допомогою розрахункової таблиці в яку записують коофіцієнти при невідомих, стовпчики вільних членів і контрольний стовпчик.

В контрольний стовпчик 1-ого стовбця записують сумму елементів по рядках. Елементи контрольного стовпчика 2-ого і наступних таблиць продовжують за правилом прямокутника. Контроль здійснюють так: якщо скма елементів рядка, крім останньго дорівнює останньму елементу, то обчислення зроблене вірно.

Розв’язування продовжується  доки ми не отримаємо стільки одиночних векторів, скількі залишилося рівнянь.

 

Власні числа та власні вектори матриці.

Лінійне перетворення  в різних базисах має різні матриці, але всі вони мають однакові власні числа. Тому можна твердити, що лінійне перетворення  характеризується набором власних чисел, які в подальшому будемо називати спектром лінійного перетворення , або спекторм матриці A.

Розглянемо лінійне перетворення  в просторі таке, що переводить відмінний від нуля вектор , тобто:

Такий вектор  називати власним вектором перетворення , а і  - власним числом, що відповідає цьому власному вектору.

 

 Квадратичні форми. Означення. Умови визначенності.

1.Квадратичною формою f від n-невідомих  називається сума, кожен член якої є або квадратом однієї з невідомих, або добутком двох різних невідомих, помножених на деякий коефіцієнт.

2.Квадратична форма f від n-невідомих  з дійсними коефіцієнтами називається додатньо визначеною, якщо при будь-яких дійсних значеннях цих невідомих, хоча б одне з них відмінне від нуля, ця форма набуває толькі додатніх значень.

 

 

 

Інтегральне числення

 

Невизначений інтеграл

 

1. Поняття первісної

Означення: Функція F(x) називається первісною для ф-ії f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F`(x)=f(x) або dF(x)=f(x)dx.

Із означення виходить, що первісна F(x) – диференційована, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

 

Теорема про множину первісних

Якщо  F(x) – первісна для функції f(х) на проміжку І, то:

1)             F(x)+С – також первісна для f(x) на проміжку І;

2)             будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може біти представлена у вигляді Ф(х)= F(x)+С на проміжку І. (Тут С=const називається довільною сталою).

 

 

2. Невизначений інтеграл. Задача інтегрування

Означення: Операція знаходження первісних для ф-ії f(x) називається інтегруванням.

Задача інтегрування функції на проміжку полягає в тому, щоб знайти всі  первісні функції на цьому проміжку. Для розв’язання задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F(x), тоді (за теоремою про множину первісних) F(x)+С – загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.

 

Означення: Ф-ія F(x)+С, зо являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для  ф-ії f(x) на проміжку І і позначається

де ­f(x) – підінтегральна ф-ія; f(x)dx – підінтегральний вираз; dx – диференціал змінної інтегрування.

 

Теорема Коші. Для існування невизначеного інтеграла для ф-ії f(x) на певному проміжку достатньо, щоб ­f(x) була неперервною на цьому проміжку.

 

3. Властивості невизначеного інтеграла

Властивості, що випливають із означення невизн. інт:

І. похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії:

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ.

Властивості, що відображають основні правила інтегрування:

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла.

 

4. Інтегрування розкладом

 

5. Інтегрування частинами

Теорема: Якщо функції u(x) та v(x) мають неперервні похідні, то: 

На практиці ф-ії u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом: при інтегруванні частинами підінтегральний вираз f(x)dx розбивають на два множники типу udv, тобто f(x)dx=udv; при цьому ф-ія u(x) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалася, а за dv приймають залишок підінтегрального виразу, який мітить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

Деякі типи інтегралів і їх заміни:

v(x):

де Р(х) – многочлен, Q(x) – алгебраїчна ф-ія.

 

6. Метод підстановки

Мета – перетворити інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема. Якщо f(x) – неперервна, а x=j(t) має неперервну похідну, то:

Наслідок.

 

7. Метод безпосереднього інтегрування

В цьому методі використ. формула

варіанту заміни змінної, але саму змінну не записують (роблять усно) При цьому використовують операцію внесення ф-ії під знак диференціала.

Через це, якщо: , то:

 

8. Інтегрування раціональних ф-ій

Означення: Відношення двох многочленівназивається раціональним дробом.

Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто n<m. Якщо ж n³m, то дріб неправильний.

 

Найпростіші раціональні дроби (4 типи):

1. 2. 3. 4.

де k³2, kÎN, D=p²-4q<0

 

Теорема: Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна представити у вигляді скінченого числа найпростіших дробів використовуючи такі правила:

1) Якщо Q_m(x)=(x-a)^k×g_m-k(x), то:

2) Якщо Q_m(x)=(x²+px+q)^k×g_m-2k(x), то:

де А_і, В_і, – деякі коефіцієнти,  та правильні раціональні дроби.

 

Методика інтегрування раціональних ф-ій:

1. Якщо підінтегральна ф-ія – неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена і правильного раціонального дробу.

2. Знаменник правильного раціон. дробу розкладають на множники. По вигляду знаменника, правильний раціон. дріб представляють у вигляді найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

 

9. Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо òR(sin x,cos x)dx, де R – раціональна ф-ія відносно sin, cos, тобто над sin, cos викон. лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня. Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл òR(sinx,cosx)dx завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної ф-ії òR*(t)dt, загальна схема інтегрування якої розроблена.

1) Універсальна тригонометрична підстановка . На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sin x, cos x входять в невисокому степені, інакше підрахунки будуть складні.

2) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.

3) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

4) Підінтегральна ф-ія R(sin x, cos x) – парна по sinx, cosx сукупно, тобто R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). В цьому випадку використовують підстановку tgx=t  або ctgx=t.

5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t.

 

 

 

10. Інтегрування ірраціональних функцій.

 

1)

 

 

2)

 

 

3)

 

 

 

 

 

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

 

1. Поняття визначеного інтеграла

Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при l_і­­à0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини Dх_і, ні від вибору точок x_і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.

 

 

2. Властивості визначеного інтеграла

1) Якщо f(x)=c=const, то

2) Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла.

 

3) Якщо f₁(x) та f₂(x) інтегровні на [a;b], то:

 

4) Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл лише змінить свій знак на протилежний.

 

5) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю.

 

6) Якщо f(x) – інтегровна в будь-якому із проміжків [a;b], [a;c], [c;b], то:   

7) Якщо f(x)³0 і інтегровна для xÎ[a,b], b>a, то

 

8) Якщо f(x), g(x) – інтегровні та f(x)³g(x) для  xÎ[a;b], b>a, то:

 

9) Якщо f(x) – інтегровна та m£f(x)£M, для xÎ[a;b], b>a, то

 

 

3. Поняття визначеного інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона-Лейбніца.

Теорема: Якщо ф-ія f(x) неперервна для будь-якого xÎ[a;b],  то похідна від інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній ф-ії від верхньої межі інтегрування, тобто:

 

Наслідки: 1) Визначений інтеграл із змінною верхньою межею від ф-ії f(x) є одна із первісних для f(x).  2) Будь-яка неперервна ф-ія на проміжку [a;b] має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла із змінною верхньою межею.

 

Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:

  де F’(x)=f(x)

Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:

 

4. Метод підстановки у визначеному інтегралі

Теорема: Якщо: 1) f(x) – неперервна для xÎ[a;b]; 2) j(a)=а, j(b)=b;  3) x=j(t) та j‘(t) – неперервні для tÎ [a;b];  4) при tÎ [a;b]èxÎ [a;b], то

 

5. Інтегрування частинам у визначеному інтегралі

 

 

 

УЗАГАЛЬНЕННЯ   ПОНЯТТЯ   ІНТЕГРАЛА

 

 

1. Невластиві інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування

Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченного bÎ[a;+¥), так що  існує.

Означення: Границя  при bà+¥ називається невластивим інтегралом від ф-ії не нескінченному проміжку [a;+¥) і позначається:

 

Якщо ця границя скінченна, то невластивий інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (в тому числі нескінченна), – розбіжним.

Вважаючи, що f(x) – інтегровна для скінченних a та b, формули для обчислення невластивих інтегралів на  нескінченному проміжку мають вигляд:

 

де с=const.

 

 

2. Обчислення невластивих інтегралів від розривних (необмежених) функцій

Нехай f(x) неперервна на проміжку (a;b] та при x=a має розрив 2-го роду.

Означення:  називається невластивим інтегралом від розрізненої (необмеженої) функції f(x).

Якщо ця границя існує – інтеграл збіжний, якщо ні – розбіжний.

Для обчислення таких невластивих інтегралів використовують такі формули:

 

1) x = a – точка розриву f(x),

2) x = b – точка розриву f(x),

 

3) x=cÎ(a;b) –точка розриву f(x),

 

 

3. Поняття подвійного інтеграла

Означення: Якщо існує та не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок M_i, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції трьох змінних u=f(x,y,z) в тривимірній області D, який позначається так:

За такою схемою можна побудувати ­n-кратний інтеграл від функції n змінних u=f(M), M(x₁, x₂,…, x_n,) у відповідній області D.

 

Властивості подвійного інтеграла:

1.

2.

3.  якщо D=D₁ÈD₂ D₁ÇD₂= Æ.

 

4. Обчислення подвійного інтеграла зведенням до повторного інтеграла

 

 

5. Заміна змінних інтегрування в подвійному інтегралі

 

6. Поняття криволінійних інтегралів першого та другого роду

Криволінійний інтеграл першого роду

Означення:

називається криволінійним інтегралом першого роду, якщо ця границя існує і не залежить ні від способу розбиття дуги L на елементарні дуги, ні від вибору на них точок M_i.

Враховуючи формулу обчислення дуги кривої, цей інтеграл можна обчислити за такою формулою:

В тривимірному випадку для ф-ії u=f(x;y;z), коли дуга кривої L задана параметричними рівняннями x=x(t), y=y(t), z=z(t), a £ t £ b. Формула має вигляд:

Зауваження: Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напряму шляху інтегрування.

 

 

Криволінійний інтеграл першого роду

Якщо P(x;y) та Q(x;y) – неперервні ф-ії, а y=j(x) – рівняння дуги гладкої кривої L, яка пробігається при зміні х від а до b, то криволінійний інтеграл другого роду має такий вигляд:

Криволінійний інтеграл другого роду змінює свій знак на протилежний при зміні напряму шляху інтегрування (тобто обходу дуги кривої L).

Криволінійний інтеграл другого роду можна розглядати як інтеграл від вектор-функції по диференціалу радіус-векторадуги кривої лінії L, тобто:

ФУНКЦІЇ   БАГАТЬОХ   ЗМІННИХ

 

Основні поняття

 

1. Множини точок на площині та в n-вимірному просторі.

Множина точок називається зв'язною, якзо будь-які її дві  точки можна з'єднати ламаною лінією так, щоб всі точки цієї лінії належали цій множині.

 

Множина точок називається обмеженою, якщо її точки належать множині точок круга скінченного радіуса.

 

Множина точок, координати яких задовольняють нерівність (x₁-x₁⁰)²+(x₂-x₂⁰)²+…+(x_n-x_n⁰)²<d² називається d-околом точки P₀(x₁⁰, x₂⁰,…, x_n⁰).

Зауваження: у випадку двовимірного простору цю нерівність можна представити у вигляді: (х-х₀)²+(у-у₀)²<d².

 

Точка внутрішня для множини точок, якщо вона належить цій множині разом з деяким своїм d-околом і зовнішня, якщо існує її окіл з точок, жодна з яких на належить цій множині.

 

Зв’язна множина, яка складається тільки з внутрішніх точок, називається відкритою областю (або просто областю).

 

Точка наз. межовою для області якщо в будь-якому її d-околі знайдуться точки, що не належать області. Множина межових точок наз. межею області.

 

Область об’єднана зі своєю межею називається замкненою областю.

 

 

2. Означення ф-ії багатьох змінних

 

3. Способи завдання ф-ії

Ф-ію двох змінних можна зобразити:

-   аналітично (у вигляді формули)

-   таблично (у вигляді таблиці)

-   графічно

 

Лінією рівня наз. множина всіх точок площини, в яких ф-ія z=f(x;y) набуває однакових значень.

 

4. Границя ф-ії двох змінних

Число В називається границею ф-ії z=f(x;y) при хàx₀, yày₀, якщо для будь-якого e>0 існує число d>0 таке, що при виконанні нерівності 0<(x-x₀)²+(y-y₀)²<d² виконується нерівність |f(x;y)-B|<e і позначається:

 

5. Неперервність ф-ії двох змінних

Ф-ія z=f(x;y) називається неперервною в точці P₀(x₀;y₀), якщо

 

Ф-ія називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

 

 

6. Властивості неперервної ф-ії двох змінних

Теорема. Якщо ф-ія неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.

 

Теорема. Якщо ф-ії f(x;y) та g(x;y) неперервні в точці (x₀;y₀), то в цій точці будуть неперервними f(x;y)±g(x;y), f(x;y)×g(x;y), f(x;y)/g(x;y) при g(x₀;y₀)¹0

 

Теорема. Якщо ф-ія неперервна на замкнутій множині, то вона обмежена на цій площині.

 

Теорема. Якщо ф-ія неперервна на замкнутій обмеженій множині, то серед її значень є як найменші, так і найбільші.

 

Теорема. (про нуль неперервної ф-ії): Нехай ф-ія неперервна на зв’язній множині D і приймає у двох точках А і В цієї множини значення різних знаків. тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній ф-ія обертається в нуль.

 

 

 

ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЬ  Ф-ІЇ  ДВОХ  ЗМІННИХ

 

1. Частковий та повний прирости ф-ії двох змінних.

Різницею називають повним приростом ф-ії при переході від точки (х₀;у₀) до точки і позначають Dz. Різницюназивають Частковим приростом по х, а різницю - частковим приростом по у.

 

2. Диференційовність ф-ії двох змінних

Ф-ія називається диференційовною у точці (х₀;у₀), якщо її повний приріст Dz можливо подати у вигляді: , де А, В – числа, a, b – нескінченно малі при Dxà0, Dyà0.

 

Головна лінійна структура приросту ф-ії, тобто АDх+ВDу називається повним диференціалом ф-ії (першим диференціалом) f(x;y) в точці x₀, y₀ і позначається dz: 

 

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) диференційовна в точці (x₀,y₀), тоді існують  границі:

 

 

3. Достатня умова диференційовності ф-ії двох змінних у точці

Існування частинних похідних – необхідна, ала не достатня умова диференційовності ф-ії двох змінних в точці.

 

4. Диференціювання складної ф-ії

Теорема: Нехай на множині D визначена складна ф-ія z=f(u;v), де u=u(x;y), v=v(x;y) і нехай ф-ії u(x;y), v(x;y) мають у деякому околу точки (х₀;у₀)ÎD неперервні частинні похідні, а ф-ія z=f(u;v) має неперервні частинні похідні в деякому околу точки (u₀;v₀), де u₀=u(x₀;y₀), v₀=v(x₀;y₀). Тоді складна ф-ія z=f(u(x,y);v(x,y)) диференційовна в точці (х₀;у₀), причому

 

5. Похідна за напрямом. Градієнт

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначесна в деякому околі точки P₀=(x₀;y₀); l­ деякий промінь з початком в точці P₀=(x₀;y₀); P=(x;y) – точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається, – околу точки P₀=(x₀;y₀); Dl – довжина відрізка P₀Р. Границя , якщо вона існує, називається похідною ф-ії z=f(x;y) за напрямом в точці Р₀ і позначається

В частинному випадку, є похідна ф-ії z=f(x;y) за доданим напрямом осі О_{х ,} а – за напрямом осі О_у.

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни ф-ії z=f(x;y) в точці P₀=(x₀;y₀) за напрямом .

 

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) має в точці P₀=(x₀;y₀) неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує неперервна похідна за будь-яким напрямом  причому де  – значення частинний похідних в точці P₀=(x₀;y₀).

 

 

6. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

 

Означення: Диференціалом другого порядку від ф-ії z=f(x;y) називається диференціал від її повного диференціалу, тобто d²z=d(dz). Аналогічно визначають диференціали третього і вищого порядків.

 

 

7. Похідна неявної ф-ії

Якщо існує неперервна ф-ія однієї змінної y=f(x) така, що відповідні пари (x;y) задовольняють умову F(x;y), тоді ця цмова називається неявною формою ф-ії f(x), сама ф-ія f(x) називається неявною ф-ією, яка задовольняє умову F(x;y)=0.

Припустимо, що неперервна ф-ія y=f(x) задана в неявній формі F(x;y)=0 і що . Похідна знаходиться за формулою:

Аналогічно частинні похідні ф-ії двох незалежних змінних z=f(x;y), яка задана за допомогою рівняння F(x;y;z)=0 де F(x;y;z) – диференційовна ф-ія змінних x,y,z, можуть бути обчислені за формулами:

 

8. Формула Тейлора для ф-ії двох змінних

Розглянемо ф-ію двох змінних z=f(x;y). Припустимо, що в околу заданої точки (x₀;y₀) ця ф-ія має неперервні похідні всіх порядків, до n+1 включно. Надамо x₀ і y₀ деякі прирости Dx і Dy так, щоб прямолінійний відрізок, який з’єднує точки (x₀;y₀) і (x₀+Dx;y₀+Dy), не вийшов за межі околу, що розглядається. Тоді формула Тейлора:

 

 

 

ДЩСЛІДЖЕННЯ  Ф-ІЇ  ДВОХ  ЗМІННИХ

 

1. Екстремум ф-ії двох змінних

 

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в деякому околі точки (x₀;y₀) і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок (x;y) цього околу виконується нерівність , тоді ця точка (x₀;y₀) називається точкою максимуму (мінімуму) ф-ії z=f(x;y).

Точки максимуму і мінімуму наз. точками екстремуму.

 

Теорема (необхідна умова екстремуму): Якщо ф-ія z=f(x;y) має екстремум в точці (x₀;y₀), тоді в цій точці частинні похідні іабо дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема (достатня умова екстремуму): Нехай ф-ія має екстремум у точці (x₀;y₀), неперервні частинні похідні першого і другого порядку, причомута а також   . Якщо:

1)             AC-B²>0 і A<0 тоді (x₀;y₀) точка максимуму

2)             AC-B²>0 і A>0 тоді точка мінімуму

3)             AC-B²<0 екстремуму немає

 

2. Умовний екстремум для ф-ії двох змінних

Нехай на відкритій множині D Ì R² задано ф-ії u=f(x;y), v=j(x;y) і Е – множина точок, що задовольняють рівняння:

Означення: Рівняння називають рівнянням зв’язку, точку (x₀;y₀)ÎЕ називають точкою умовного строгого максимуму ф-ії u=f(x;y) при обмеженнях рівняння.

 

3. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення)

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

 

1. Вводні означення

Означення: Дифуром називається рівняння, яку містить шукану похідну ф-ії. Найбільший порядок похідних називається порядком диф.рівняння.

 

 

4.Властивості визначників.

1.При трансформуванні визначника його значення не змінюється. Усі властивості для рядків є властивостями і для столбців.

2.Якщо всі елементи будь-якого рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю

3.Якщо усі елементи мають спільний множник, то його можна винести за знак визнач.

4.Якщо змінити місцями два рядки, то визначник змінює знак.

5.Якщо визначник має два однакових рядки то він дорівнює нулю.

6.Якщо елементи будь-якого рядка пропорційні елементам другого рядка, то виз.=0.

7.Нехай усі елементи будь-якого рядка є су-мою двох доданків тоді визначник є сума двох визначників. В першому визначнику розглядаємому рядку ел. є перший доданок, в другому.

1 Дії над матрицями.

5. Мінор і алгебраїчне доповнення. Теорема Лапласа.

Мінором k-го порядку наз. визначник утво-рений з елементів, які стоять на перетині будь-яких к рядків та к стовпчиків визнач.

Доповнювальним мінором к-го порядку наз. такий мінор, який залишається у визна-чнику після викреслювання тих к рядків і тих к стовпчиків, на перетині яких стоять елементи, що утворили мінор к-го порядку.

Алгебраїчним доповненням до мінора к-го порядку є доповнювальний мінор (n-к)-го  порядку, взятий зі знаком…

9. Ранг матриці та методи його знаход.

Рангом матриці наз найвищій порядок від-мінного від нуля мінора матриці.

10.Вектори.Поняття..

Вектором а наз лінійну комбінацію векто-рів а,а,…а векторного простору R, якщо він дорівнює сумі добутків цих векторів на до-вільне дійсне число.

16.Власні числа та власні вектори матриці.

Вектор х¹0 наз. власним вектором лінійного оператора А, якщо знайдеться таке число а що А(х)=ах.

17.Квадратичні форми…

Квадратичною формою L(х,х,…х) від n змінних наз. суму, кожен член якої є або квадратом однієї із змінних, або добуток двох різних змінних, взятих з деяким коефіцієнтом.

L>0-визначена.   \\\ а = а

L<0-невизначена.

   L=XAX

4.Загальні властивості збіжних послідовностей.

Т1 Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Т2Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Т3Якщо lim x=a i a<l(a>m), то існує такий номер N, що при всіх n>N виконується нерівність х<l(x>m).

9.Поняття границі функції.

Число В наз. границею функції f(x) при х®а ,якщо для будь-якого e>0 існує число d>0, таке що при  êх-аê<d і х¹а виконується нерівність êf(x)-bê<e.

Геометричний зміст похідної -  похідна     чисельно дорівнює кутовому кофіциенту дотичної, проведеної до графіка функції у=  у точці з абсцисою х.

Опуклість та вгнутість кривої- крива на проміжку наз. опуклою(вгнутою), якщо всі точки кривої лежать нижче( вище) будь-якої її дотичної на цьому проміжку.

Точка перегину-точка яка відокремлює ви-пуклу частину кривої від вгнутої.Асимптота-пряма наз. асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки М кривої до цієї прямої при віддаленні  точки М у нескінченність прямує до нуля.