“ема 5: ѕоказники вар≥ац≥й

 

1. Ќеобх≥дн≥сть вивченн¤ вар≥ац≥й.

2. ѕоказники вар≥ац≥й, њх економ≥чний зм≥ст та техн≥ка обчисленн¤.

3. ћатематичн≥ властивост≥ дисперс≥њ вар≥ац≥йноњ ознаки.

4. ƒисперс≥¤ альтернативноњ ознаки.

 

1. Ќеобх≥дн≥сть вивченн¤ вар≥ац≥й

як зазначалос¤ ран≥ше, вар≥ац≥¤ т≥Їњ чи ≥ншоњ ознаки, що притаманна елементам статистичноњ сукупност≥, спричинюЇтьс¤ великою к≥льк≥стю р≥зних фактор≥в. —еред цих фактор≥в можна вид≥лити головн≥, загальн≥, що впливають на вар≥ац≥ю ознаки вс≥х без вийн¤тку елемент≥в сукупност≥. ≤нша частина фактор≥в Ц фактори випадков≥, ≥ндив≥дуальн≥. ѕ≥д д≥Їю вказаних фактор≥в ≥ формуЇтьс¤ вар≥ац≥¤ ознаки, а значить ≥ особливост≥ т≥Їњ чи ≥ншоњ статистичноњ сукупност≥.

ќсобливост≥ статистичноњ сукупност≥ знаход¤ть своЇ в≥дображенн¤ в њњ розпод≥л≥. ¬ивченн¤ законом≥рностей розпод≥лу Ї одним з важлив≥ших завдань статистики. ¬ир≥шити це завданн¤ можна за допомогою узагальнюючих характеристик,† ¤к≥ можна под≥лити на:

1) характеристики† центру† розпод≥лу (середн¤, мода, мед≥ана);

2) характеристики† м≥ри ≥ ступен¤† вар≥ац≥њ;

3) характеристики† типу† (форми)† розпод≥лу.

як в≥домо, характеристики центру розпод≥лу в≥дображають типовий р≥вень ознаки в ¤к≥сно однор≥дн≥й сукупност≥. ѕроте ц≥ характеристики не в≥дображають м≥ри Фрозс≥юванн¤Ф ≥ндив≥дуальних значень ознаки у в≥дношенн≥ до середньоњ. ћожуть бути випадки, коли середн≥ значенн¤ ознаки двох сукупностей однаков≥, а характер розпод≥лу цих сукупностей† р≥зний.

Ќаприклад, розпод≥л студент≥в за результатами письмового екзамену з статистики:

 

 

—ередн≥й бал ви¤вивс¤ однаковим X_1,2 = 3,7 бала. ѕроте характер розпод≥лу цих сукупностей р≥зний. √рупа 3Ц4 ¤вл¤Ї собою статистичну сукупн≥сть пор≥вн¤но з групою 1Ц2 б≥льш ¤к≥сно однор≥дну стосовно отриманих оц≥нок. ¬ ц≥й груп≥ 88 % студент≥в отримали оц≥нки Ђ3ї ≥ Ђ4ї, тому можна сказати, що середн≥й бал дл¤ цього потоку Ї характеристикою б≥льш над≥йною, ¤ка узагальнила характерний р≥вень усп≥шност≥, властивий студентам 3Ц4 груп.

—аме тому виникаЇ необх≥дн≥сть при зд≥йсненн≥ соц≥ально-економ≥чного анал≥зу обчислювати показники, ¤к≥ характеризу-вали б м≥ру вар≥ац≥њ, тобто м≥ру в≥дхилень ≥ндив≥дуальних значень ознаки в≥д середньоњ. “акими показниками ≥ Ї характеристики† другоњ групи.

 

2. ѕоказники вар≥ац≥й, њх економ≥чний зм≥ст та техн≥ка обчисленн¤

ќсновн≥ характеристики м≥ри ≥ ступен¤† вар≥ац≥њ:

1) –озмах вар≥ац≥њ:

R = X_max Ц X_min.

÷ей показник, ¤к бачимо, базуЇтьс¤ на крайн≥х значенн¤х ознаки. ћоже статись, що одне з цих значень Ї ц≥лком випадкове, тому R не Ї над≥йним показником вар≥ац≥њ.

2) —ереднЇ л≥н≥йне в≥дхиленн¤:

(при умов≥ обчисленн¤ з первинних даних),

(дан≥ згрупован≥).

÷¤ характеристика показуЇ, наск≥льки в середньому в≥дхил¤ютьс¤ ≥ндив≥дуальн≥ значенн¤ ознаки в≥д середньоњ по сукупност≥. ÷¤ характеристика в математичному в≥дношенн≥ дещо некоректна, бо при њњ обчисленн≥ ≥гноруютьс¤ математичн≥ знаки.

јбсолютно коректними в цьому в≥дношенн≥ Ї так≥ характеристики,† ¤к дисперс≥¤ ≥ середнЇ квадратичне в≥дхиленн¤.

3) ƒисперс≥¤† (середн≥й квадрат в≥дхиленн¤)

(при умов≥ обчисленн¤ з первинних даних),

(дан≥ згрупован≥).

ƒисперс≥¤ Ц величина абстрактна† (не маЇ одиниц≥ вим≥ру).

4) —ереднЇ квадратичне в≥дхиленн¤

.

«а економ≥чним зм≥стом середнЇ квадратичне в≥дхиленн¤ ≥ середнЇ л≥н≥йне в≥дхиленн¤ однаков≥, а за числовим значенн¤м, при умов≥ симетричного† розпод≥лу вони мають такий звТ¤зок:

.

Ќаведен≥ вище характеристики Ї показниками м≥ри вар≥ац≥њ. ¬они не можуть бути використан≥ дл¤ пор≥вн¤нн¤ м≥ри вар≥ац≥њ по двох сукупност¤х при р≥зних середн≥х та дл¤ пор≥вн¤нн¤ м≥ри вар≥ац≥њ р≥зних ознак по одн≥й ≥ т≥й же сукупност≥.

÷е завданн¤ можна вир≥шити за допомогою характеристик ступен¤† вар≥ац≥њ.

5)  оеф≥ц≥Їнт вар≥ац≥њ

†Ц л≥н≥йний коеф≥ц≥Їнт вар≥ац≥њ.

Ц квадратичний коеф≥ц≥Їнт вар≥ац≥њ.

÷¤ характеристика показуЇ на ск≥льки % в середньому в≥дхил¤ютьс¤ ≥ндив≥дуальн≥ значенн¤ ознаки в≥д середнього њњ значенн¤ по сукупност≥.

 

ѕриклад техн≥ки обчисленн¤ показник≥в вар≥ац≥њ.

¬≥к опитаних випадково 10 студент≥в був таким: 19, 22, 22, 23,18, 24, 23, 19, 20, 19.

¬изначити середн≥й в≥к:

,

†р≥к.

ќбчислимо показники вар≥ац≥њ:

1. —ереднЇ л≥н≥йне в≥дхиленн¤:

:

“обто в≥к опитаних студент≥в в≥дхил¤Їтьс¤ в середньому на 1,8 року в≥д њх середнього в≥ку Ц 21 року.

2. ƒисперс≥¤:

:

.

3. —ереднЇ квадратичне в≥дхиленн¤:

:

†року.

≈коном≥чний зм≥ст Ц див..

4.  оеф≥ц≥Їнт вар≥ац≥њ:

:

.

“обто в≥к опитаних студент≥в в≥дхил¤Їтьс¤ в середньому на 9 % в≥д загальноњ середньоњ ().

 

3. ћатематичн≥ властивост≥ дисперс≥њ вар≥ац≥йноњ ознаки

1) ѕри зменшенн≥ вс≥х ≥ндив≥дуальних значень ознаки на ¤кусь пост≥йну величину ФAФ, дисперс≥¤ не зм≥нюЇтьс¤.

2) ѕри д≥ленн≥ вс≥х значень ознаки на пост≥йний множник Ф≥Ф дисперс≥¤ зменшуЇтьс¤ в Ф≥Ф раз.

3) —ередн≥й квадрат в≥дхилень в≥д †завжди менший середнього квадрата в≥дхилень значень ознаки в≥д будь-¤коњ дов≥льно вз¤тоњ величини ФјФ на квадрат р≥зниц≥ м≥ж середньою †≥ величиною ФјФ.

—л≥д памТ¤тати, що дисперс≥ю вар≥ац≥йноњ ознаки можна ще обчислити за так званим Фспрощеним методомФ. ¬ цьому випадку застосовуЇтьс¤ така формула:

,

 

;†† .

 

4. ƒисперс≥¤ альтернативноњ ознаки

ƒисперс≥¤ альтернативноњ ознаки Ї добутком частки елемент≥в сукупност≥, ¤ким притаманна ознака, що вивчаЇтьс¤, на частку елемент≥в,† ¤ким не притаманна† ц¤ властив≥сть:

,

де w Ц частка елемент≥в сукупност≥,† ¤ким притаманна ознака.

Ќаприклад:

« 100 студент≥в 80 Ц склали ≥спит, 20 Ц н≥.

“аким чином,† частка† студент≥в, що склали ≥спит, становитиме

w =:

w =;

:

.